两个集合的元素完全相同就是相等,只要有一个元素不同就是不相等。用包含的概念来说就是:A包含于B,而且B包含于A,叫做A=B,用集合符号来表示,集合相等的定义是:若A⊂B同时A⊃B,则称A与B相等,记为A=B。概率中的定义是:在一个随机现象中有两个事件A与B。若事件A与B含有相同的样本点,则称事件A与B相等,记为A=B。
概率中的定义是:
在一个随机现象中有两个事件A与B。若事件A与B含有相同的样本点,则称事件A与B相等,记为A=B。
如在掷两颗子的随机现象中,其样本点记为(x,y),其中x与y分别为第一与第二颗骰子出现的点数,如下两个事件:A={(x,y):x+y=奇数},B={(x,Y):x与y的奇偶性不同},因为只有奇数加偶数才等于奇数,可以验证A与B含有相同的样本点,故A=B。
事实上,从建立集合的概念,开始就已经使用集合相等的概念,一个集合的不同表示法,特别是用等价的特征性质描述同一个集合,实质是说不同表示法给出集合都是相等的。从过去学过的数、式、方程的性质到几何图形的性质,实质上就是在研究各种数集与点集之间的相等与不等关系,例如:
1)自然数和负整数的全体构成整数集合可以表述成:Z={x|x是自然数或负整数}={ x|x是整数}
2)偶数与奇数的全体构成整数集合可以表述成:Z={ x|x是偶数或奇数}={ x|x=2n或2n-1,n∈Z}
3)有一个内角是直角的平行四边形是矩形,对角线相等的平行四边形也是矩形,可以表述为:{矩形}={ x|x 是有一个角为直角的平行四边形}
={ x|x 是两条对角线相等的平行四边形}
在讨论子集概念时,我们强调指出定义的“等价”特征,“AC B”的定义是:“如x∈A则x∈B”。说明AC B则必有:“x∈A则x∈B”。同理:A=B必有ACB且BCA,或者x∈A则x∈B而且x∈B则x∈A。
例如Z={ x|x是整数}就是x ∈Z必有x是整数,反之x是整数必有x∈Z,再如
{(x,y)|x2 =y2 }={(x,y) |x = y或 x=-y}就是说:注意:"x2"表示"x的平方"
1)如果x2 =y2 ,必有x=y或x=--y;图形是坐标平面内第一三象限角和第二四象限角的两条角平分线。
2)如果x = y或者x =-y ,在坐标平面内四个象限角的平分线上的每个点的坐标(x,y)都适合x2 =y2 。
我们说方程x2 =y2 的图形是坐标平面内的两条直线x=y和x=--y(四个象限角的平分线)
怎样判断两个集合不相等呢?只要存在一个元素a∈A但a不属于B就是A≠B,为此我们在子集中引入了真子集的概念,从不相等的角度来看,真子集也可以定义为:
“A? B且A≠B”叫做“A是B的真子集”
也叫做A真包含于B或B 真包含A。例如自然数集N是整数集Z的真子集,有理数集Q是实数集R的真子集。正方形是长方形的真子集,平行四边形是四边形的真子集。
由于非空集A至少有一个元素,而空集Ф不含任何元素,所以非空集A的元素都不是空集的元素,我们已规定:“空集Ф是任何集合的子集”,当然要规定:空集Ф是非空集A的真子集记作:Ф真包含于非空集A
判断集合A是不是集合B的真子集,只要找一个集合A的元素不属于B就可以,例如正整数集Z是自然数集的真子集。同理正整数集是非负实数集的真子集。同理:大于2的实数集是不小于3的实数集的真子集。