如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集（subset），集合B是集合A的超集，记为A⊆B，或B⊇A，读作A包含于B或B包含A，用符号语言表示为。如果A集合中的所有元素都是B集合的元素，但两个集合不相等，则A是B的真子集，记作。
需要注意空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，同时，子集具有自反性、反对称性和传递性这些性质。 任何一个集合都是其自身的子集。如果。
19世纪末，德国数学家格奥尔格·康托尔开始系统地研究集合论，并正式提出了子集的概念。进入20世纪后，集合论和其他数学分支的交叉研究更加深入，使子集概念在如计算机科学、经济学、逻辑学和数学领域都得到了广泛应用。
在古代数学中，虽然已经有了集合的思想，但并没有形成系统的集合论。然而，一些早期的数学家已经开始意识到某些集合之间存在包含关系。古希腊哲学家亚里士多德提出了四类无限：数目的无限，空间的无限，时间的无限和潜在的无限。其中，他讨论了潜在的无限，即可以无限地增加或减少的量。这是最早的关于无限和集合的讨论。在这个时期，数学家们开始研究一些集合的性质和运算规律，但由于集合的概念不够清晰，数学家们在集合论的研究中遇到了一些难点，这促使他们不断地探索和完善集合论的基础。因此，前集合论时期是集合论发展过程中一个非常重要的阶段，它为集合论的诞生和发展奠定了基础。
19世纪末，德国数学家格奥尔格康托尔开始系统地研究集合论。他引入了无穷集合和实数集合的概念，并开始研究集合之间的关系。康托尔认为集合是由一组确定的、彼此不同的对象聚集而成的整体，强调了集合的确定性同时也指出集合中不存在重复元素，为了描述集合的大小，康托尔还引入了基数的概念，对于有限集合，基数即为元素个数，对于无限集合，其基数是指所有与该集合一一对应的集合的个数。基于基数和集合的概念，格奥尔格·康托尔证明了实数集是不可数的，即实数集的基数大于自然数集的基数。正是在这一时期，子集的概念被康托尔正式提出，即如果一个集合A的中的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，并在此基础上提出了映射定理和康托尔连续性定理。
子集概念提出后，很快在数学的许多领域得到了应用。例如，在概率论中，子集的概念被用来描述事件的可能性。
随着数学的发展，人们开始意识到集合论中的一些基本概念需要更加精确的描述。因此，数学家们开始致力于将集合论公理化。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了惊论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由格奥尔格·康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。在这个过程中，子集的概念得到了进一步的完善和精确化。子集的性质得到更加详细的阐述，提出了子集的对称性、传递性和有限性以及空集是任意集合的子集，同时子集的存在性得到了更加严密的证明，深入研究了子集的不可分辨性。
子集的概念也被引入到泛代数和离散概率论中。在泛代数中，子集用于描述代数结构中的元素关系，特别是在群、环、域等代数系统中。例如，在群论中，子集可以用来表示群的子群，这些子群具有一些与原群类似的性质。此外，在泛代数中，子集还可以用于表示代数的同态和同构关系。
在离散概率论中，子集的应用更为广泛。首先，事件是样本空间的一个子集，而样本空间是所有可能结果的集合。因此，事件可以用于描述随机试验的结果。例如，在掷子的试验中，事件可以是“出现偶数点”或“出现点数大于3”。则该事件即为样本空间的一个子集。此外，概率论中的条件概率是一个重要的概念，它描述了一个事件发生的条件下另一个事件发生的概率，因为条件概率的定义涉及到事件之间的包含关系，比如事件A是事件B的子集,也就是事件B包含事件A，则P(B|A)=P(B)，因此与子集密切相关。
进入20世纪后，集合论和其他数学分支的交叉研究更加深入。子集的概念不仅在纯粹数学研究中发挥了重要作用，也在计算机科学、经济学等其他领域得到了广泛应用。总的来说，子集概念的发展是一个持续不断的过程，它随着数学和其他学科的发展而不断完善和应用。
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设A、B都是集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集(subset)，A是B的超集，这时也称B包含于(inclusin)A，或A包含B，记为B⊆A，如果A中还有不属于B的元素，则称B是A的真子集(proper subset)，记为B⊊A。空集∅是任意集合的子集，集合A的全体子集组成的集合称为集合A的幂集(power set)。
元素是组成集合的每个对象，也是构成集合的基本单位。在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。集合中的元素具有确定性、互异性、无序性和可重复性等特点。
集合是一个无序的、不重复的元素集。这些元素可以是任何东西，例如数字、字母、点等。集合是用花体字母来表示的，例如集合A、集合B等。集合的表示方法有两种:列举法和描述法。列举法是将集合中的所有元素--列举出来，例如集合A={1,2,3}。描述法是用某些性质来描述集合中的元素，例如集合B={x|x\u003e2}表示所有大于2的实数。
空集是指不含任何元素的集合。它是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。空集不是无，而是内部没有元素的集合。记作：∅。
真子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，但两个集合不相等。记作A⊊B(或B⊋A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)。对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A,则A⊊B。空集是任何非空集合的真子集。
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证明：假设存在一个集合，使得。这意味着。但是，由于，这与假设矛盾。因此得出结论:空集是任意集合的子集。
规律一：对任意两个集合 A 和 B，下列表述等价：
规律二：假设非空集合A中含有n个元素，则有：
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规律三：设是两个集合，的充要条件是：，即两个集合相等的充分必要条件是它们互为子集。
证明：（1）必要性：因为，由集合相等的定义可知中的每个元素都属于，所以；同理，中的每个元素都属于，所以，。（2）充分性：用反证法。如果，则A中至少存在一个元素不在中，与矛盾；或者中至少有一个元素不在中，与矛盾。所以，不可能成立，故。
例一：，则其子集包括，个数为个，除去外均为真子集，个数为个
例二：，则B的子集包括，个数为个，除外均为真子集，个数为个
数据存储：在计算机科学中，数据通常以集合的形式存储在数据库中。通过使用子集的概念，可以轻松地查询和操作这些集合，以满足特定的需求。例如，可以使用子集来筛选出符合特定条件的记录，或者将数据划分为不同的子集以便进行并行处理。
集合运算：子集的概念是进行集合运算的基础。例如，在处理文件集合时，可以使用子集来比较两个文件集合之间的差异，以便识别新增、删除或修改的文件。
机器学习：在机器学习中，数据通常被划分为训练集和测试集。训练集用于训练模型，而测试集用于评估模型的性能。这种划分是基于子集的概念，通过将原始数据划分为不同的子集，可以更好地了解模型的泛化能力。
图像处理：在图像处理中，子集的概念可以用于图像分割和特征提取。通过将图像划分为不同的子集，可以提取出图像中的边缘、角点等特征，从而更好地描述图像的内容。
在现代经济学中，子集的概念已经渗透到了许多领域。在市场分析中，子集的应用无处不在。以消费者行为为例，不同消费者群体在购买偏好、消费能力等方面存在差异，形成各种“子集”。通过对这些子集的深入研究， 可以更精准地预测市场趋势，为企业制定更有针对性的营销策略。
此外，子集理论在产业规划中也发挥着重要作用。不同的产业可以根据地理位置、资源禀赋、政策环境等因素形成各自独特的“子集”。对产业子集的深入研究，有助于政府和企业制定更为合理的发展战略，实现资源的优化配置。
而在经济政策制定中，子集的应用更是不可或缺。例如，在财政政策中，通过对收入群体、行业、地区等不同子集的研究，可以更有效地实施税收政策、转移支付等措施，实现宏观经济的稳定与增长。再如货币政策，通过对货币流动性的研究，可以更精确地调控市场利率，从而达到稳定物价、促进经济增长的目的。
总结来说，子集在经济学中的应用广泛且深入。无论是市场分析、产业规划还是经济政策制定，子集理论都提供了独特的视角和有力的工具。
子集在逻辑学中有着广泛的应用，特别是在集合论和形式逻辑中。在集合论中，子集是一个基本概念。如果集合A中的每个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集。这种关系可以用符号表示为A⊆B。通过这个概念，可以建立一系列复杂的集合关系，从而深入理解集合的性质和结构。
在形式逻辑中，子集的概念经常用于定义命题的真假关系。例如，在布尔逻辑中，命题的真假可以被视为集合的子集关系。真命题对应于集合的真值集合的一个子集，假命题对应于该集合的一个子集。这样，逻辑运算(如与、或、非等)就可以通过集合的运算(如交、并、补等)来解释。
在证明论和数学基础中，子集的概念用于定义和证明各种数学概念和定理。例如，通过使用子集的概念，可以证明一些数学定理的正确性，例如“任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和”。子集在数学的各个领域都有广泛的应用，它既是一个重要的理论工具，也是解决实际问题的有效方法。在数学的领域中，子集的概念是指一个集合的所有元素也是另一个集合的元素。在概率论中，每一个事件都可以被视为一个集合，而这个事件的概率则可以理解 该事件作为某个更大事件子集的概率。比如，掷一次骰子出现偶数点的概率0.5，就是这可以理解为“出现偶数点”这个事件是“掷一次骰子所有可能结果”这个集合的子集，其概率为该子集的元素数量除以总元素数量。在几何学中， 也经常用到子集的概念。当讨论某个点在某个线段上时，这个点就是线段这个集合的子集。此外，当讨论多边形、圆等几何形状时，这些形状都可以视为某个更大集合的子集。通过子集的概念， 可以更好地理解和研究几何学的各种性质和关系。
在哲学中，子集的概念用于分析和讨论各种哲学问题，如形而上学、认识论和伦理学等。例如，形而上学中的概念如可能世界可以被视为超集的子集，认识论中的概念如可能证据可以被视为证据集合的子集。